第二章 数列2.4 等比数列2.4 等比数列(第 2 课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q≠0),即: . 2.等比数列的通项公式: . 二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b的等比中项.即 G=±(a,b 同号).如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则 ,反之,若 G2=ab,则,即 a,G,b 成等比数列. (1)在等比数列{an}中,是否有=an-1an+1(n≥2)?(2)如果数列{an}中,对于任意的正整数 n(n≥2),都有=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗?分析:(1)由{an}是等比数列,知,所以有=an-1an+1(n≥2);(2)当数列为 0,0,0,0,…时,仍有=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an}中的每一项均不为零,且=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立.2.几个性质(1)已知 a1,a2,a3,…,an是公比为 q 的等比数列,新数列 an,an-1,…,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出 an,an-1,…,a2,a1是从第 2 项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为 ,公比为 的等比数列. (2)已知无穷等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.① 依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?② 数列{can}(其中常数 c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:① 由=q,得 an+1=anq,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{an}的所有奇数项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列. ② 因为=…==q,所以数列{can}(c≠0)是首项为 ca1,公比为 q 的等比数列.(3)已知数列{an}是等比数列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立吗?②=an-1an+1(n>1)是否成立?③=an-kan+k(n>k>0)是否成立?④ 在等比...
