高中数学 2.3.1 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4-新人教B版高中必修4数学学案

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)[基础·初探]教材整理 1 两个向量的夹角阅读教材 P107内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈a，b〉，并规定 0≤〈a，b〉≤π，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉.2.当〈a，b〉＝时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.3.当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 反向；当〈a，b〉＝或 a 与 b 中至少有一个为零向量时，a⊥b. 如图 231，在△ABC 中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为________.图 231【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角为 π－∠BAC，故二者互补.【答案】 互补教材整理 2 向量在轴上的正射影阅读教材 P108“例 1”以上内容，完成下列问题.已知向量 a 和轴 l 如图 232.作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l 上的坐标，称做 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上 的数量.1图 232OA＝a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向 所成的角为 θ，则由三角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ.已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为，则 a 在 b 方向上的投影为( ) A. B. C. D.【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝.故选 D.【答案】 D教材整理 3 数量积的定义及性质和运算律阅读教材 P108“例 1”下～P110内容，，完成下列问题.1.向量的数量积(内积)的定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.由定义知，两个向量 a 与 b 的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质：(1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2即|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.3.平面向量数量积的运算律：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c...