高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.向量在平面几何中的应用 向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.案例 1 求证平行四边形对角线互相平分，【探究】如图所示，已知ABCD 的两条对角线相交于点 M，设=x，=y，则=x=x+x，=+=+y=+y（-）=（1-y）+y.于是我们得到关于基底{、}的的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以解得 x=，y=，故 M 是 AC、BD 的中点，即对角线 AC、BD 在交点互相平分.通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：① 建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.② 通过向量运算，解决几何元素之间的关系.③ 把运算结果翻译成几何关系.规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件 a⊥ba·b=0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式 cosθ=.2.向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.案例 2 求通过点 A（-1，2），且平行于向量 a=（3，2）的直线方程.【探究】过点 A 且平行于向量 a 的直线是唯一确定的，把这条直线记为 l，在 l 上任取一点P（x,y），则∥a.如果 P 不与 A 重合,由向量平行,它们的坐标满足条件.整理得方程 2x-3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线 l 上,所以这个方程,就是所求的直线方程.规律总结 设直线的倾角为 α,斜率为 k,向量 a=(a1,a2)平行于 l,则有k=tanα=.活学巧用【例 1】 如图，若 D 是△ABC 内一点，且有 AB2-AC2=DB2-DC2.求证:AD⊥BC.解析:欲证 AD⊥BC,只须证明 AD⊥BC 即可.设=a,=b.=e,=c.=d,则 a=e+c，b=e+d.∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知 a2-b2=c2-d2,∴c2+2ec-2ed-d2=c...
