高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2016 高中数学 2.5.1 平面几何中的向量方法学案 新人教 A 版必修 4学习目标：1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程．2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具．3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．学习重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”学习难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题一．知识导学：1．向量方法在几何中的应用(1) 证 明 线 段 平 行 问 题 ， 包 括 相 似 问 题 ， 常 用 向 量 平 行 ( 共 线 ) 的 等 价 条 件 ：a∥b(b≠0)⇔_____⇔_ .(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔______________⇔ .(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝_______＝__________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a|＝__________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量为______，法向量为 ________．(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 _________，法向量为_____________.二．探究与发现【探究点一】直线的方向向量与两直线的夹角(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，则称向量 v 为直线 l 的方向向量．对于任意一条直线 l：y＝kx＋b，在它上面任取两点 A(x0，y0)，B(x，y)，则向量AB＝(x－x0，y－y0)与直线 l 共线，即AB为直线 l 的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝(1，)＝(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线 y＝kx＋b 的一个方向向量．(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量当 B≠0 时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量；当 B＝0 时，A≠0，直线 x＝－的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A)．综上所述，直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量为 v＝(B，－A)．例如：已知直线 l：2x－y＋1＝0，下列向量：①v1＝(1,2)；② v2＝(2,1)；③ v3＝；④ v4＝(－2，－4)．其中能作为直线 l 方向向量的有：________.(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线 l1：y＝k1x＋b1与直线 l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为 v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．当 v1⊥v2，即 v1·v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠－1 时...