高中数学 2.5.2等比数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案

第二章 第五节 数列前 n 项和习题课目标定位：运用分组求和法，错位相减法，裂项相消法求数列的和，弄清每一种方法对应的题型特征。（重点和难点）1．等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？ 2．等差数列和等比数列的性质有哪些？ 分组转化法求和[例 1] 已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前 n 项和．[解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－n.即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝＋1－n.[类题通法]当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和．[活学活用]1．求和：Sn＝3＋33＋333＋…＋3333n  个.解：数列 3,33,333，…，3333n  个的通项公式an＝(10n－1)．∴Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－＝×－＝(10n－1)－.错位相减法求和[例 2] (2012·浙江高考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足 an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求 an，bn；(2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.[解](1)由 Sn＝2n2＋n，得当 n＝1 时，a1＝S1＝3；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，所以 an＝4n－1，n∈N*.由 4n－1＝an＝4log2bn＋3，得 bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知 an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以 Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以 2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故 Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.[类题通法]如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．[活学活用]2．已知 an＝，求数列{an}的前 n 项和 Sn.解：Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得 Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝－－，∴Sn＝－－＝－.裂项相消法求和[例 3] 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.[解](1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由于 a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋...