§2.5 特征值与特征向量（1）教学目标：知识与技能： 1.理解特征值与特征向量的含义. 2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法, 并能从几何变换的角度加以解释.过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：特征值与特征向量的含义教学难点：求矩阵的特征值和特征向量教学过程：一、问题情境: 已知伸 压变换矩阵 M=, 向量 α=和 β=在 M 对应的变换作用下得到的向量 α′和 β′分别与 α, β 有什么关系? 对伸压变压矩阵 N=呢?二、建构数学：1.矩阵的特征值和特征向量的定义.2.特征多项式3.矩阵 M=的特征值和特征向量的计算方法: (1)构造特征多项式 f (λ)=0;(2)解方程 f(λ)=0 ;(2)将 λ 代入, 求出对应的一个特征向量.注: 如果向量 α 是属于 λ 的特征向量, 那么 tα(t∈R , t≠0)也是属于 λ 的特征向量.三、教学运用：例 1.求下列矩阵的特征值和特征向量, 并从几何变换的角度加以解释.(1)A= (2) B= 例 2.已知 A=, P=, Q=, 试求矩阵 PAQ 的特征值与特征向量.例 3.已知 α 是矩阵 M 属于特征值 λ=3 的特征向量, 其中 M=, α=, 且a+b+m=3 , 求 a , b , m .四、课堂小结：五、课堂练习：P72 1六、回顾反思：七、课外作业：1.向量在矩阵变换下（ ） A.改变了方向, 长度不变 B.改变了长度, 方向不变 C.方向和长度都不变 D.以上都不对2.下列对于矩阵 A 的特征值 λ 的描述正确的是 ( ) A.存在向量 α, 使得 Aα=λα B.对任意向量 α, 有 Aα=λα C.对任意非零向量 α, Aα=λα 成立 D.存在一个非零向量 α, 有 Aα=λα3.矩阵 的特征值为__________ , 对应的特征向量为_____________ .4.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) (2) 5.已知 M=, 试说明和都是矩阵 A 的对应于不同的特征值的特征向量.6.已知 α 是矩阵A 属于特征值 λ=－2 的特征向量, 其中 A=, α=, 求 a , b .7.如果向量 α 既是矩阵 M 的特征向量, 又是矩阵 N 的特征向量, 证明: α 必是 MN 及 NM 的特征向量.
