第二章 数列2.5 等比数列的前 n 项和2.5 等比数列的前 n 项和(第 1 课时)学习目标掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前 n 项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏.国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,…,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?每个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就是这个数列的前 64 项和.即求 ,怎么计算? 二、信息交流,揭示规律如何求数列 1,2,4,…262,263各项的和?以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:S64=1+2+4+8+…+262+263 ①用公比 2 乘以①的两边,得2S64=2+4+8+16+…+263+264 ②由②-① 可得:S64=264-1.这种求和方法称为 ,它是研究数列求和的一个重要方法. 等比数列的前 n 项和公式:当 q≠1 时,Sn= ① 或 Sn= ②当 q=1 时,Sn=na1公式的推导方法一:一般地,设等比数列 a1,a2,a3,…,an,…它的前 n 项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,由得所以(1-q)Sn=a1-a1qn.所以当 q≠1 时, 当 q=1 时, 公式的推导方法二:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+a3+…+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)(1⇒-q)Sn=a1-anq(结论同上).现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?国王承诺奖赏的麦粒数为S64==264-1≈1.84×1019,据测量,一般一千粒麦子重约为 40g,则这些麦子的总质量约为 7.36×1017g,约合 7360亿吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?三、运用规律,解决问题【例 1】求下列等比数列前 8 项的和.(1),….(2)a1=27,a9=,q<0.【例 2】某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年...
