高中数学 2.3.1平面向量基本定理（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材

2. 3.1 平面向量基本定理（结）命题方向 1 考查对基底概念的理解 如果 e1、e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量；② 对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个；③ 若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则＝.④ 若实数 λ、μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②[分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1 与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底e1、e2 表示的惟一性求解．[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当 λ1λ2＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.规律总结：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题 ．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底.命题方向 2 用基底表示向量 已知OA＝a，OB＝b，C 为线段 AO 上距 A 较近的一个三等分点，D 为线段 CB 上距C 较近的一个三等分点，则用 a、b 表示OD的表达式为( )A.(4a＋3b) B.(9a＋7b)C.(2a＋b) D.(3a＋b)[解析] ∵OD＝OC＋CD＝OC＋CB＝OC＋(OB－OC)＝OC＋OB＝OA＋OB＝(4a＋3b)，∴选 A.命题方向 3 有关向量夹角的计算 已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为 60°，试求下列向量的夹角：(1)a 与－b；(2)2a与 3b.[分析] 首先作出相应向量，然后依据向量夹角的定义求解．[解析] (1)由向量夹角的定义，作出 a 与 b 的夹角，如图①，向量 a 与－b 的夹角为 120°.(2)如图②，向量 2a 与 3b 的夹角为 60°.规律总结：解决此类问题时，应先作出图形，明确要求的角，然后结合图形求出角度．命题方向 4 综合分析与解决问题的能力 如图，在△OAB 中，OA＝a，OB＝b，M、N 分别是边 OA、OB 上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM相交于点 P，用向量 a、b 表示OP.[分析] 该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算确定 λ1，λ2，可以引进参数，利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定 λ1、λ2.[解析] ∵OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb.OP＝ON＋nNA＝b＋n(a－b)＝(1－n)b＋na.∵a、b 不共线，∴⇒n＝，∴OP＝a＋b.