第二章 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 【学习目标】掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握向量的坐标运算.【学习重点】向量的坐标运算【知识链接】平面向量的基本定理【基础知识】1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量 、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得……我们把叫做 ，记作……其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做 与相等的向量的坐标也为.特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算若，，（1）设基底为 、，则即= ，同理可得= . 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）设基底为 、，则，即 .结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3） 若，，则==( x2， y2) (x1，y1)= .结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.【例题讲解】例 1 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-， 3+4的坐标.例 2 已知平面上三点的坐标分别为 A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例 3 已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.【达标检测】1．若 M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求 P 点的坐标2．若 A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则2= .3．已知：四点 A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形 ABCD 是梯形.4.在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（2，3），点 B 的坐标为（6，5），则=_______________，=__________________。5.已知向量,的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°，则的坐标为_____________。6.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）A．B．C．D．7.已知点 A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。8.已知平面向量 ， ，且 2，则等于（ ）A． B． C． D．9.已知，，，，则以，为基底，求. 【问题与收获】 4—7 答案：8.C 9.
