第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程学习目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考方程(x-1)2+(y+2)2=4 表示什么图形?它与方程 x2+y2-2x+4y+1=0 是什么关系?问题 1:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后是什么形式?问题 2:方程:x2+y2-6x+8y+20=0 表示的曲线是什么图形?二、自主探索,尝试解决1.我们知道,圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于 x,y 的二元二次式: ; 2.圆的标准方程展开都是一个关于 x,y 的二元二次式 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于 x、y 的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 都表示圆吗?三、信息交流,揭示规律3.圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于 x,y 的二元二次式:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.关于 x,y 的二元二次式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆,通过对其进行配方得: ;当 ,即 时表示圆心为(-,-),半径为 r=的圆. 当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示 . 当 D2+E2-4F<0 时,x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示任何图形.四、运用规律,解决问题4.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:(1)x2+y2-6x=0(2)x2+y2+2by=0(3)x2+y2-2ax-2ay+3a2=0总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)5.求过三点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.解:总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)五、变练演编,深化提高从所给的题目来看,题目主要涉及圆的一般方程的求解和利用圆的一般方程确定圆心和半径进行设计,而所涉及的条件主要是圆上的点,同学们仿照例题可以自己进行题目的编写.6.平面直角坐标系中有 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?解:六、信息交流,教学相长请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面.七、反思小结,观点提炼1.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)中的 ...
