第 11 课时 立体几何趣题——球在平面上的投影教学要求：明白球在不同光照下的投影教学过程： 放在水平面上的球与水平面切于点 A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点 A 与轮廓曲线的关系又是什么? 一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为 R 的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以 A 为 一个焦点的椭圆．分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在水平面上的投影是以为 A 圆心，R 为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的椭圆，如图 1．如图 l 所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆 O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线， 设与水平面平行且与球相切的平面 与球相切于点 D，与圆柱面的交线为；P 为上的任意一点，经过点 P 的光线为 PP’，(P’，为光线 PP’与平面 的交点)，且与球相切于点 C，过点 D 作与光线平行的直线交水平面于点 B，连结 PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,即知 PA+PB=PP’, 又 PP’ =为一定值，则知点 P 在以 A,B 为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影放在水平面上的半径为 R 的球与水平面切于点 A，与水平面距离为 h 的点光源 S(S 在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的圆锥曲线或以 A 为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离 h 及 SA 与水平面所成角有关．1．当过点 S，球心 O 的直线与水平面垂时，此时必有 h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点 S、球心 O 的直线与水平面不垂直时． ① 若 h>2R，则球在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的椭圆，如图 2．如图 2 所示，与球相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆1；球与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为 B；P 为球在水平面的投影线上的任意一点，过 P 的光线与球 O、的切点分别为 D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知 CD 为两圆锥母线之差(为一定值)．即 PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以 A、B 为焦点的椭圆. ② 若 h=2R,则球在水平面上的投影是以 A 为焦点的抛物线，如图 3．如图 3 所示，与球 O 相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆 Ol；过 S、O，A 的平面与水平面交于 AG；圆 Ol 所...
