高中数学 4.2 曲线的极坐标方程 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义知识导航学案 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学学案

4.2.1 曲线的极坐标方程的意义自主整理1.一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f(ρ,θ)=0;反之，极坐标适合方程 f(ρ,θ)=0 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的_____________，这条曲线称为这个极坐标方程的_____________.答案:极坐标方程 曲线2.求曲线的极坐标方程的基本步骤：第一步：建立适当的极坐标系；第二步：在曲线上任取一点 P（ρ,θ）；第三步：根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步：用极坐标 ρ,θ 表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步：证明所得的方程是曲线的极坐标方程.高手笔记1.在求曲线的极坐标方程时，就是求曲线上的任一点 M（ρ,θ）的坐标符合已知条件的方程，在方法与步骤上和求直角坐标方程是类似的.2.由直角坐标方程化成极坐标方程，只要用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 直接代入就可以了.由极坐标方程化为直角坐标方程，在可能时，最好把 ρcosθ 换成 x,ρsinθ 换成 y,ρ2 换成x2+y2,而不是直接把 ρ 和 θ 换成 x 和 y 的式子.3.找平面曲线的极坐标方程，就是要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式，常用解三角形（正弦定理，余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立 ρ、θ 之间的关系.4.当允许 ρ<0 时，这时规定它的对应点 M 的位置在角 θ 终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ|，这样 ρ 可取一切实数.名师解惑1.极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？剖析：根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加 π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作：将射线 OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转 π，因此，所谓“负”实质是管方向的.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.为何我们要注意不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？剖析：（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n 为整数）表示的是同一个点，所以点与有序...