导出椭圆标准方程的新途径在化简方程：导出椭圆的标准方程时，用的是两次平方，将无理式化为有理式，过程比较长，运算繁杂．下面介绍两种简便快捷的方法．方法一：用均值换元法设得，即将代入①式得 ③将③式两边平方得即因为，设，整理得．方法二：用三角换元法设得即即代入④式得以下同方法一略．例 8 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即． ，解得．专心 爱心 用心1（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得 ．解得．因此，所求直线的方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在 轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例 9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为专心 爱心 用心2． 解 方 程 组得 交 点的 坐 标 为 （ － 5 ， 4 ） ． 此 时最小．所求椭圆的长轴，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．例 6 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜...
