高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2

直线与圆的方程的应用（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？例 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB = 20m，拱高 OP = 4m，建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A2P2的高度(精确到 0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在 y 轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是 r，那么圆的方程是 x2 + (y – b)2 = r2.下面确定 b 和 r 的值.因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组解得b = –10.5，r2 = 14.52所以，圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点 P2的横坐标 x = –2 代入圆的方程，得 (–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取(P2 的纵坐标 y＞0 平方根取正值).所以≈14.36 – 10.5=3.86(m)经典习题例 1 一圆形拱桥，现时的水面宽为 22 米，拱高为 9 米，一艘船高 7.5 米，船顶宽 4 米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)可求得过 C、D、M 三点的圆的方程是故 A 点坐标是(2，y1)，则得 y1≈8.82，(取 y1＞0)∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.例 2 设半径为 3km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与 B 相遇，设 A、B 两人的速度一定，其比为 3:1，问 A、B 两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北为 y 轴的正方向，建立直角坐标系，设 A、B 两人的速度分别的为 3vkm/h，vkm/h，设 A 出发 ah，在 P 处改变方向，又经过 bh 到达相遇点 Q，则 P(3av，0)Q (0，(a + b)v)，则|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v在 Rt△OPQ 中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得 5a = 4b∴设直线 PQ 方程为由 PQ 与圆 x2 + y2 = 9 相切，解得故 A、B 两人相遇在正北方离村落中心km.例 3 有一种商品，A、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 相距 10km，问这个居民应如何选择 A...