第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题 是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式.【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距 离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.【基础知识】.空间中两点间的距离公式1.2.① 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图 1② 如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分别作 BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为 D,E.根据坐标 的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形 ABO、BOD 是直角三角形 ,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此 A 到原点的距离是 d=.【例题讲解】图 2例 1.如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我 们 分 别 过 P1P2 作 xOy 平 面 的 垂 线 , 垂 足 是 M,N, 则 M(x1,y1,0),N(x2,y2,0), 于 是 可 以 求 出 |MN|=.再过点 P1作 P1H⊥P2N,垂足为 H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在 Rt△P1HP2 中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|==.因此空间中点 P1 (x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=.于是空间两点之间的距离公式是 d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【达标检测】1．点 M(3,4,1)到点 N(0,0,1)的距离是( A )A．5 B．0C．3 D．12．空间直角坐标系中，x 轴上到点 P(4,1,2)的距离为的点有( A )A．2 个 B．1 个 C．0 个 D．无数个3.设点 B 是点 A(2，－3,5)关于 xOy 面的对称点，则|AB|等于( A )A．10 B．4C．6 D．25．到两点 A(3,4,5)，B(－2,3,0 )距离相等的点 M(x，y，z)的坐标满足的条件是( B )A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝06.正方体不在同一平面上的两顶点 A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C )A.16 B.192 C.64 D.48二、填空题 7．已知 P(，，z)到直线 AB 中点的距离为 3，其中 A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则 z＝0 或－ 4 .8．...
