2 空间两点间的距离公式【学习目标】1
掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题
能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3
通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题 是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式
【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距 离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢
这就是我们本堂课的主要内容
【基础知识】
空间中两点间的距离公式1
① 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的
图 1② 如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分别作 BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为 D,E
根据坐标 的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形 ABO、BOD 是直角三角形 ,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此 A 到原点的距离是 d=
【例题讲解】图 2例 1
如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离
我 们 分 别 过 P1P2 作 xOy 平 面 的 垂 线 , 垂 足 是 M,N, 则 M(x1,y1,0),N(x2,y2,0), 于 是 可 以 求 出 |MN|=
再过点 P1作 P1H⊥P2N,垂足为 H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|
在 Rt△P1HP2 中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|==
因此空间中点 P1 (x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=
