复习课(二) 数 列等差数列与等比数列的基本运算数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前 n 项和等，一般试题难度较小．等差、等比数列的基本公式等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1an＝am＋(n－m)dan＝amqn－m前 n 项和公式Sn＝Sn＝(q≠1)Sn＝na1＋dSn＝(q≠1)求和公式的函数特征Sn＝n2＋nSn＝－qn＋(q≠1)[典例] 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3，b4，b5
(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：数列是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为 a－d，a，a＋d
依题意，得 a－d＋a＋a＋d＝15，解得 a＝5
所以{bn}中的 b3，b4，b5依次为 7－d,10,18＋d
依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解得 d＝2 或 d＝－13(舍去)，∴b3＝5，公比 q＝2，故 bn＝5·2n－3
(2)证明：由(1)知 b1＝，公比 q＝2，∴Sn＝＝5·2n－2－，则 Sn＋＝5·2n－2，因此 S1＋＝，＝＝2(n≥2)．∴数列是以为首项，公比为 2 的等比数列．[类题通法]对于等差、等比数列的基本运算主要是知三求二问题，解题时注意方程思想、整体思想及分类讨论思想的运用．1．在等比数列{an}中，Sn是它的前 n 项和，若 a2·a3＝2a1，且 a4与 2a7的等差中项为17，则 S6＝________
解析：设{an}的公比为 q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则 a4＝2；由 a4与2a7的等差中项为 17 知，a4＋2a7＝2×17＝34，得 a7＝16
