高中数学 几何变换与矩阵 2.4 逆变换与逆矩阵章末分层突破学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学学案

2.4 逆变换与逆矩阵一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种：法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解；法二：从几何变换的角度求解. 已知矩阵 A＝，B＝，求(AB)－1. 【导学号：30650045】【解】 法一 AB＝＝＝，∴det(AB)＝＝11－130＝－119.∴(AB)－1＝.法二 A＝，∴det(A)＝＝12＋5＝17，A－1＝；又 B＝，∴det(B)＝＝－1－6＝－7.∴B－1＝.∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝＝.二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法1.二元一次方程组的解的情况的判定.常用两种方法：法一：利用 det(A)与 0 的大小情况判定.法二：从几何变换的角度判定.12.二元一次方程组的求解常用两种方法：(1)用行列式法求解记 D＝，Dx＝，Dy＝，于是方程组的解为(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵 A＝，则 det(A)＝ad－bc，若 det(A)＝0，判定方程组解的情况；若 det(A)≠0，方程组有惟一解，求出 A－1＝，令＝A－1，则即为方程组的解. 解二元一次方程组：【解】 法一 方程组可写为＝.因为＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解.利用矩阵求逆公式得＝.所以原方程组的解为＝＝＝，即法二 记 D＝＝1×3－1×2＝1≠0，Dx＝＝7×3－6×1＝15，Dy＝＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用. 已知 A＝，求 A－1.【解】 法一 设 A－1＝，则＝，即＝，故解得 x＝，y＝，z＝－，w＝，故 A－1＝.法二 矩阵 A 表示的变换为线性变换，且→满足条件所以所以逆矩阵 A－1＝.章末综合检测(四)1.求下列矩阵的逆矩阵.(1)A＝；(2)B＝.【解】 法一 (1) |A|＝1×3－2＝1，∴A－1＝.(2) 2×5－4×3＝－2，∴B－1＝.法二 (1)设 A－1＝，则 AA－1＝E，即＝＝，∴∴∴A－1＝.2同理求出 B－1＝.2.试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积的逆矩阵.【导学号：30650046】【解】 代数角度：＝，＝－1，∴＝，∴()－1＝.几何角度：矩阵对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切变变换的逆变换为切变变换.∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x，y)→(x－2 y，y)，故＝.矩阵对应的变换为关于直线 y＝x 的反射变换，其逆变换为其本身，故＝.∴()－1＝＝＝.3.已知 A＝，求 A－1.【解】 ＝，＝，∴A－1＝＝＝.4.用矩阵方法求二元一次方程组的解.【解】 方程组可写为：＝，令 M＝，...