高中数学 两个数列的公共项问题例解素材 新人教版

两个数列的公共项问题（1）求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；（2）求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理．例 1．已知两个等差数列：5，8，11，……； ①3，7，11，……； ②它们的项数均为 100 项，试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析：方法一、设两数列共同项组成的新数列为，易知，又数列 5，8，11，……的通项公式为，公差为 3，而数列 3，7，11，……的通项公式为，公差为 4，所以数列仍 为 等 差 数 列 ， 且 公 差 为 d=12 ， 故 数 列的 通 项 公 式 为，又得，所以已知两数列有 25 个共同的项。方法二、整除性 设，n+1 只能取 4，8，12，…，100，共 25 个例 2.设 An为数列{an}的前 n 项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列{dn}，证明：数列{dn}的通项公式为 dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项，Br为数列{bn}的前 r 项的和；Dn为数列{dn}的前 n 项和，Tn=Br－Dn，求.分析：利用项与和的关系求 an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.易错分析：待证通项 dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到 r 与 n 的关系，使 Tn中既含有 n，又含有 r，会使所求的极限模糊不清.解：(1)由 An=(an－1)，可知 An+1=(an+1－1)，∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而 a1=A1= (a1－1)，得 a1=3，所以数列是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列，数列{an}的通项公式 an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而数 32n=(4－1)2n=42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由 32n+1=4·r+3，可知 r=，∴Br=，点评：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把 3 拆解为 4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)n 问中挖掘出 n 与 r 的关系，正确表示 Br，问题便可迎刃而解.例 3．在［1000，2000］内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？解：不妨设，则为与的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000)∵,即：3n=4m+1 令 n=3 , 则 m=2 ∴c1=9 且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p-1) ( pÎN*) 由 1000≤cn≤2000 解得： ∴p 取 84、85、……、166 共 83 项。例 4．已知数列的前 项和为，数列满足.（I）分别求和的通项公式；（II）当时，设和的公共项按原顺序组成的数列为，求数列的通项公式以及前 项和