高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.1 比较法知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.3.1 比较法自主整理1.比较法一般分为两种:________________和________________.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:① 作差;② 合并化简;③ 分解因式(或配方);④ 与 0 比较大小.3.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:①______________;②______________;③______________;④______________.高手笔记1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.名师解惑如何正确使用作商法?剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如 ab ＜1 a＞b 是错误的,因为这里的变形实质上是在不等式 ab ＜1 两边同乘 a 所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一个负数是不同的,当 a＞0 时,得 b＜a,但当 a＜0 时,得 b＞a,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.讲练互动【例 1】求证:a2+b2＞2(a-b-2).分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.证明: a2+b2-2(a-b-2)=a2+b2-2a+2b+4=(a-1)2+(b+1)2+2＞0,∴a2+b2＞2(a-b-2).绿色通道 不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.变式训练1.已知 a、b 都是正数,且 a≠b,求证:a5+b5＞a3b2+a2b3.证 明 :a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2), a、b 都是正数,∴a+b＞0,a2+ab+b2＞0. a≠b,∴(a-b)2＞0.∴(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)＞0,即 a5+b5＞a3b2+a2b3成立.【例 2】已知 a＞b＞c＞0,求证:a2a·b2b·c2c＞ab+c·bc+a·ca+b.1分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法.证明:bacacbcbacbacba222=a2a-(b+c)·b2b-(a+c)·c2c-(a+b), a＞b＞c＞0,∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.∴a2a-b-c...