5.3.2 综合法和分析法自主整理1.一般地,从已知条件出发,利用某些不等式的_____________或_____________,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明的方法叫做_____________.2.一般地,从要证明的不等式出发,逐步寻求使它成立的________________条件,直至最后,把要证明的不等式归结为判定一个明显成立的不等式(已知条件、定理等),这种证明的方法叫做_______________.高手笔记1.综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式,其过程为“由因导果”.2.分析法通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,书写要规范,其过程为“执果索因”.3.用综合法证明不等式往往要先用分析法分析其思路,再用综合法书写出其证明过程,是分析法的逆过程.名师解惑如何用综合法证明不等式?剖析:用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式、函数的单调性以及不等式的性质在严密的逻辑推理下推导出结论.综合法证明问题的“入手处”是题目的已知条件或某些重要不等式.常用的重要不等式有: ① 若 a、b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”);② 若 a、b∈R+,则 a+b≥ab2(当且仅当 a=b 时取“=”);③ 若 a、b∈R+,则baababbaba22222(当且仅当a=b 时取“=”);④ 若 a、b、c∈R+,则 a3+b3+c3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=”);⑤ 若a 、b、c∈R,则 a2+b2+c2≥ab+bc+ca;⑥ 若 a、b∈R+,则有(a+b)( a1 + b1 )≥4. 选择使用哪个重要不等式作为证题的“原始出发点”或对已知条件的转化是证题的关键,这需要对要证明的结果有充分的分析,可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.例如在证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ac 时,除了用作差比较法以外,还可从重要不等式 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac 入手,利用不等式的性质来进一步推理得出结论;再如证明 sinx+xsin4≥5〔x∈(0, 2 ］〕,并不是使用重要不等式 a+ a1 ≥2(a∈R+),因为这里的00,范围不同,等号取不到,所以是利用正弦函数 sinx 的有界性以及形如函数 y=x+ x4 的函数的单调性来证明的.所以在利用综合法证明问题时,必须积累一定的经验,还要记忆一些数学式子的独特结构以便在证明过程中利用已经证明过的结论和方法来证明问题.讲练互动【例 1】已知 a、b、c 都是正数,求证:).(2222222cbaaccbba分析:不等式的两边都是和式结构,左边含有根式,右边不含根式...
