高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.3 反证法知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.3.3 反证法自主整理运用反证法证明不等式的主要步骤:第一步:作出与所证不等式______________的假设;第二步:从____________出发,应用正确的推理方法,推出____________结论,_____________假设,从而证明原不等式成立.高手笔记用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑反证法的理论依据是什么?剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题 p q 为真命题,则 q  p 也必为真命题. 这是因为如果逆否命题  q  p 为假的话,则  q p 是真的.于是有  q p q,即 q q,这显然是错误的. 所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立. 反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证法.讲练互动【例 1】设 a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c 都为正数”,可用反证法.证明:假设 a、b、c 不全大于 0,不妨设 a≤0.当 a=0 时,abc=0 与 abc>0 矛盾.当 a<0 时, abc>0,∴bc<0. a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与 ab+bc+ca>0 矛盾.∴假设不成立.∴a>0,b>0,c>0 成立.绿色通道 “都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中 a、b、c 同等地位,可不妨设 a≤0,要全部否定,注意有“=”.变式训练1.若 x>0,y>0,且 x+y>2,求证:xy1、yx1中至少有一个小于 2.1证明:假设xy1、yx1都大于等于 2,即xy1≥2,yx1≥2. x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,与 x+y>2 矛盾.∴假设不成立.∴xy1、yx1中至少有一个小于 2 成立.【例 2】设 a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于 41 .分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证...