5.4.1 柯西不等式自主整理柯西不等式(1)代数形式:设 a、b、c、d 均为实数,则_______________,当且仅当 ad=bc 时取“=”.(2)向量形式:设 α、β 为平面上的两个向量,则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“=”.(3)三角形不等式:设 x1、y1、x2、y2、x3、y3 为任意实数,则221221)()(yyxx 232232)()(yyxx≥________________.向量表示:设 α、β、γ 为平面上的向量,则____________,当且仅当向量 α-β 与 β-γ 同向时取“=”.(4)一般形式:设 n 为大于 1 的自然数,ai、bi(i=1,2,…,n)为任意实数,则______________.当且仅当nnababab2211时取“=”(当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,…,n).(5)在 n 个实数 a1,a2,…,an和为定值 S 时,它们的平方和不小于21 Sn,当且仅当 a1=a2=…=an时,平方和取最小值21 Sn.高手笔记1.柯西不等式可由基本不等式推证,其形式比较整齐、优美. 因用到的字母较多,不易记忆,可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了,由α·β=｜α｜｜β｜cosα≤｜α｜·｜β｜,所以只需记住向量数量积定义即可.2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出,注意联想记忆.3.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求,对“=”取到的条件要从推导过程中来理解.名师解惑对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的 (a2+b2)(12+12)≥(a+b)2, 但 怎 样 构 造 要 仔 细 体 会 ,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合联系,要根据需要.柯西不等式取“=”的条件,可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取“=”的条件是“ad=bc”,有点像 a、b、c、d 成等比数列时 ad=bc 的结论.柯西不等式的向量形式中,α·β≤｜α｜·｜β｜取“=”的条件是 β=0 或存在实数 k,使 α=kβ,我们可以从向量的数量积的角度来理解记忆.讲练互动【例 1】设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=cdab ,Q=ndmbncma,试确定 P 与 Q 的大小.分析:从结构上观察,被开方数为(ma+nc)(ndmb ),可用柯西不等式.1解: m、n、a、b、c、d 为正数,∴(ma+nc)(ndmb )=［(ma )2+(nc )2］·［(mb )2+(nd )2］≥(mandncmb)2=(cdab ...
