高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.3 平均不等式知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案VIP专享

5.4.3 平均不等式自主整理1.两个正数 a、b,则2ba ≥______________(当且仅当 a=b 时取“=”).2.a、b、c∈R+,则3cba≥______________(当且仅当 a=b=c 时取“=”).3.a1,a2,…,an∈R+,naaan21≥______________(当且仅当 a1=a2=…=an时取“=”).4.naaan21称为这 n 个正数的________________,nnaaa21称为这 n 个正数的________________.不等式______________称为算术—几何平均不等式,即 n 个正数的算术平均不小于它们的几何平均.高手笔记1.平均不等式的使用前提是正数,在使用时一定要考查是否具备前提条件.2.在使用平均不等式求函数的最值时,需考查“三条”,即“一正,二定,三相等”,这三者缺一不可,否则求出的不是函数的最值. “一正”是必不可少的,例如 a=b=-2,c=2 时,a+b+c=-2,而 3 3 abc =6,显然3cba≥3 3 abc 不成立了. “二定”包含两类最值问题,一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1+a2+…+an为定值),求其积 a1·a2·…·an的最大值;二是已知乘积 a1a2…an为定值,求其和 a1+a2+…+an的最小值. “三相等”,等号成立的条件是 a1=a2=a3=…=an都相等才能取“=”,否则取不到等号.名师解惑使用算术—几何平均不等式时有哪些常用的技巧?剖析:在利用算术—几何平均不等式求函数的最值(或范围)时,往往需要对代数式变形或拼凑,有时一个数需要拆分成两个或两个以上的数 ,这时候,拆成的数要相等.如 y=22x+x= 222xx 2x ,其中把 x 拆成 2x + 2x 两个数的和,而不是把22x拆成21x+21x,否则乘积不为定值,也不是把 x 拆成443xx ,否则等号取不到.也就是得到的乘积为定值或和为定值,这样通过“一正,二定,三相等”求出最值.讲练互动【例 1】已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证:(1+ a1 )(1+ b1 )≥9.分析:本题可将“1”代换成 a+b 进行变形,再由平均不等式证出.证明:方法一: a>0,b>0,a+b=1,∴(1+ a1 )(1+ b1 )=(1+aba )(1+bba )1=(1+1+ ab )(1+1+ ba )≥3333baab =9.方法二: a>0,b>0,a+b=1,∴(1+ a1 )(1+ b1 )=(1+aba )(1+bba )=(2+ ab )(2+ ba )=4+2( ab + ba )+1=5+2(ab +ba )≥5+2×2ab ×ba =9.方法三: a>0,b>0,a+b=1,∴2ab ≤a+b=1.∴0