矩阵的简单应用设 λ1、λ2是二阶矩阵 A 的两个不同的特征值，α1、α2是 A 的属于特征值 λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量β，设 β＝t1α1＋t2α2(t1，t2∈R)，则有 Anβ＝t1λα1＋t2λα2(n∈N*)．Anα(n∈N*)的求法[例 1] 已知矩阵 M＝，β＝
(1)求出矩阵 M 的特征值和特征向量；(2)计算 M4β，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么
[思路点拨] (1)先求出矩阵 M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用 Anβ＝t1λα1＋t2λα2(λ1、λ2是矩阵 A 的特征值，α1、α2是 λ1、λ2的特征向量，β＝t1α1＋t2α2)计算；(3)由 Mnβ 中 n 的变化情况与计算结果即可发现规律．[精解详析] (1)矩阵 M 的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，令 f(λ)＝0，解得 λ1＝1，λ2＝2
所以它们对应的特征向量为 α1＝，α2＝
(2)令 β＝mα1＋nα2，则有 m＋n＝，解得 m＝2，n＝1，即 β＝2α1＋α2
所以 M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝
同理可得，M10β＝，M100β＝
(3)当 n 很大时，可近似的认为Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝
求 Anα 的一般步骤为：第一步：求矩阵 A 的特征值 λ 和相应的特征向量 ξ；第二步：把向量 α 用 ξ1，ξ2线性表出，即 α＝t1ξ1＋t2ξ2；第三步：由公式计算 Anα＝t1λξ1＋t2λξ2
1．已知矩阵 A 的一个特征值为 3，对应特征值 3 的特征向量 α＝，求 A100α
解：A100α＝λ100α＝3100＝
2．给定矩阵 A＝，B＝
(1)求 A 的特征值 λ1，λ2及对应的特征向量 α1，
