矩阵的简单应用设 λ1、λ2是二阶矩阵 A 的两个不同的特征值，α1、α2是 A 的属于特征值 λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量β，设 β＝t1α1＋t2α2(t1，t2∈R)，则有 Anβ＝t1λα1＋t2λα2(n∈N*)．Anα(n∈N*)的求法[例 1] 已知矩阵 M＝，β＝.(1)求出矩阵 M 的特征值和特征向量；(2)计算 M4β，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？[思路点拨] (1)先求出矩阵 M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用 Anβ＝t1λα1＋t2λα2(λ1、λ2是矩阵 A 的特征值，α1、α2是 λ1、λ2的特征向量，β＝t1α1＋t2α2)计算；(3)由 Mnβ 中 n 的变化情况与计算结果即可发现规律．[精解详析] (1)矩阵 M 的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，令 f(λ)＝0，解得 λ1＝1，λ2＝2.所以它们对应的特征向量为 α1＝，α2＝.(2)令 β＝mα1＋nα2，则有 m＋n＝，解得 m＝2，n＝1，即 β＝2α1＋α2.所以 M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝.同理可得，M10β＝，M100β＝.(3)当 n 很大时，可近似的认为Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.求 Anα 的一般步骤为：第一步：求矩阵 A 的特征值 λ 和相应的特征向量 ξ；第二步：把向量 α 用 ξ1，ξ2线性表出，即 α＝t1ξ1＋t2ξ2；第三步：由公式计算 Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.1．已知矩阵 A 的一个特征值为 3，对应特征值 3 的特征向量 α＝，求 A100α.解：A100α＝λ100α＝3100＝.2．给定矩阵 A＝，B＝.(1)求 A 的特征值 λ1，λ2及对应的特征向量 α1，α2；(2)求 A4B.解：(1)设 λ 为 A 的特征值，由 f(λ)＝＝λ(λ－2)－3＝0，解得 λ1＝－1，λ2＝3.当 λ1＝－1 时，由 ＝－，得 A 属于特征值－1 的特征向量为 α1＝.同理，A 属于特征值 3 的特征向量为 α2＝.(2)设 B＝mα1＋nα2＝＋，得解得所以 B＝α1＋α2.因此 A4B＝A4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2＝＋＝.矩阵方幂 An的求法[例 2] 设 A＝，利用矩阵的特征值和特征向量计算 An.[思路点拨] 先求出矩阵 A 的特征值 λ1，λ2与其对应的特征向量 α1，α2，然后利用 Anα＝λnα，并令 An＝，最后利用待定系数法建立二元方程组求得 a，b，c，d.[精解详析] A 的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－2)－15＝λ2－6λ－7＝0，令 f(λ)＝0，得 A 的特征值为 λ1...
