高中数学 5.5 利用不等式求最大（小）值 5.5.2 利用柯西不等式求最大（小）值知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.5.2 利用柯西不等式求最大(小)值自主整理1.柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当_____________时取“=”.2.柯西不等式一般形式:niniiiba1122≥(niiiba1)2,当且仅当_____________时取“=”.高手笔记1.在 n 个实数 a1,a2,…,an 的和为定值 S 时,它们的平方和不小于21 Sn,即niia12 ≥n1 (niia1)2= 21 Sn,当且仅当 a1=a2=…=an时平方和取最小值21 Sn.2.利用柯西不等式求最值时,注意“=”成立的条件,并会构造定值,学会拼凑.名师解惑如何用柯西不等式求函数的最值?剖析:利用柯西不等式求函数的最值时,往往不能直接应用,而是需要对数学式子的形式进行改变,拼凑出与柯西不等式相似的结构才能应用.因而适当变形是我们应用柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用.讲练互动【例 1】已知|x|≤1,|y|≤1,求2211xyyx的最大值.分析:本题中的数学式子为2211xyyx,而(1-y2)与 y2和为 1,(1-x2)与 x2和为 1,可用柯西不等式求得.解:(2211xyyx)2≤［x2+(1-x2)］［y2+(1-y2)］=1,∴最大值为 1.绿色通道 通过观察式子结构与柯西不等式相对照构造定值,弄清谁是 a,b,c,d.若用 x2与 y2合并就不易求出.变式训练1.设 a、b、c>0 且 acos2θ+bsin2θ=c,求a cos2θ+ b sin2θ 的最大值.解:(a cos2θ+ b sin2θ)2=［a cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ］2≤［(a cosθ)2+( b sinθ)2］(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ=c,∴a cos2θ+ b sin2θ≤c ,最大值为c .【例 2】求 y=xx21234的最大值.分析:本题中出现的都是根式,可由柯西不等式转为平方把根号去掉,但要注意构造定值.1解: (xx21234)2=(xx42234)2≤［12+(2 )2］［(34 x)2+(x42 )2］=3(4x+3+2-4x)=15,∴ymax= 15 .绿色通道 利用柯西不等式求函数的最值时要注意构造定值,特别是系数如何确定,需要仔细体会.变式训练2.求函数 f(x)=xx126的最大值.解: (xx126)2≤(12+12)(x-6+12-x)=12,∴f(x)的最大值为3212 .【例 3】已知 a、b∈R+,a+b=2,求bbaa2222的最小值.分析:观察不等式的结构,求函数的最小值,需出现(a2+b2)(c2+d2),而且还必须使 ac+bd 为定值,可以把bbaa2222看作“a2+b2”,那么“c2+d2”就可以为(2-a)+(2-b).解: a、b∈R+,a+b=2,∴2-a>0,2-b>0 且 2-a+2-b=2. ［bbaa...