5.6 数学归纳法与不等式自主整理 数学归纳法证明命题 P(n)的两个步骤: 第一步:证明命题_____________成立,即证命题当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1,2 等)时成立. 第二步:假设命题 P(k)(k∈N*,且 k≥n0)成立,证明_____________成立,根据以上两步得到当 n≥n0且 n∈N*时命题 P(n)成立.高手笔记1.数学归纳法是证明与正整数 n 有关的命题的一种方法.2.数学归纳法证明命题的原理: 第一步证明当 n=n0时命题成立,即 P(n0)成立.由 P(n0)成立与第二步可得 P(n0+1)成立;由 P(n0+1)成立及第二步,可得 P(n0+2)成立……依次类推,可得对于任意的自然数 n(n≥n0),命题 P(n)都成立.3.数学归纳法的两个步骤缺一不可,最后要总结所要证的结论.4.数学归纳法中所取的第一个值 n,不一定是 1,有可能是 0,2,3 等值,要审清题意.名师解惑数学归纳法及其证明思路是什么?剖析:归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法,它包括不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法.我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的,其正确性可用数学归纳法来证明.数学归纳法一般用来证明涉及与正整数 n 有关的命题,但不能说证明所有的与正整数 n 有关的命题都可用数学归纳法.用数学归纳法证明问题时,两步缺一不可.第一步是基础;第二步反映了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有第一步而没有第二步,只有证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法.若只有第二步没有第一步,那么假设 n=k 成立,即 P(k)成立就没有根据,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤一和步骤二使传递成为可能,由一、二步得出命题成立.证明时归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键,即第二步必须用上假设 n=k 成立推证出 n=k+1 成立,在证明过程中,需根据命题的变化、特点,利用拼凑或放缩,得出结论.讲练互动【例 1】用数学归纳法证明.121112)12(1431211nnnnnn分析:用数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题,关键是第二步,要注意当 n=k+1 时,等式两边的式子与 n=k 时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,随 n 怎样变化.证明:(1)当 n=1 时,左边=211= 21 ,右边= 21 ,等式成立.(2)假设当 n=k 时等式成立,即kk2)12(1431211=kkk212111,则当 n=k+1 时,1左边=)22)(12(12)1...
