中国剩余定理民间传说着一则故事——“韩信点兵”．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信带 1 500 名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排，结果多出 3 名；他又命令士兵7 人一排，结果又多出 2名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1 073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振．一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败而逃．你知道韩信是怎么算出士兵人数的吗？这要用到今天我们要学习的知识．1．“物不知数”这个题目最早出现在我国古老的数学名著《孙子算经》之中，原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”实际上这个问题用现代数学语言表示，就是求一次同余式组的解的问题：求正整数 x，满足条件为____________．这个同余式等价于求下面不定方程组的正整数解______．2．“物不知数”问题的解法分 3 步：(1)设 P 满足两个条件：① 5|P,7|P ② P≡________；设 Q 满足两个条件：① 3|Q,7|Q ② Q≡________；设 R 满足两个条件：① 3|R,5|R ② R≡________.(2)把它们叠加起来，就得到解：2P＋3Q＋2R.因为 2P＋3Q＋2R 除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2.(3)我们来求 P 的值．由 P＝5×7×m(m 是自然数)，令 m＝1，P＝35≡2(mod 3)；令 m＝2，P＝70≡1(mod 3)．∴P＝________.同理求得 Q＝________，R＝________.故 2________＋3Q＋2R＝________.因为问题的解不唯一，且 3×5×7＝105，所以最小正整数解为____________．满足条件的所有解为____________．3．我国南宋时期数学家________在《数书九章》第一章“大衍术”中给出了“物不知数”的一般形式及其解法．因为所用的一次同余方程右边均为 1，所以他称这种方法为“大衍求一术”．4．德国人________首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的，这一发现受到当时数学史学家们的高度重视，从此，西方将关于...
