高中数学 利用平面向量求一类函数的值域 新人教A版必修5

向量法求函数值域 版权所有@正好 1 利用平面向量求一类函数的值域 我们对于一些我们已知图像的函数求值域问题能很好地处理，然而对于一些含有根号的函数，处理起来就比较棘手了 例 1．求 2t1)( ttf的值域 解：令 a=（1,1）b=（t，21 t） 则2( )=t+ 1f ta bt 在 平 面直 角坐 标 系中 以（ 0,0） 为起点表示两向量，图中 a = AB,b的终点在 22xy =1（y>0）上。 max|2( )| | |f tab min|( )| | |cos135( 1)1f tabf  ( )1, 2f t   于是有一下总结： 一般的，对于形如 ( )abf xmn (其中 m，n 为常数。a，b 为含自变量 x 的式子，且 a+b=常数)的函数解析式可设,)( )( , ) (abf xm n ,根据几何直观求( )f x 的值域。特别要注意,)(ab的取值范围 向量法求函数值域 版权所有@正好 2 例 2.求22( )3143f ttt  的值域 解：设 a=（3,1）b=（233t  ，243t） 则22( )3143f ta btt  在平面直角坐标系中以（0,0）为起点表示两向量，图中 a= AB , b 的终点在22xy =1（x,y>0）上。 max( )|| || 2 12f tab  min( )( )(0)(1)1f tg xgf ( )1,2f t  例 3 函数 12120,0,f xxabxb a的最大值= ,最小值= 。 解：设12,a  b=,xabx  12a bf xxabx || || cos,aba b 2212cos,baa b  2212maxf xba 当12 时，  2min =f xf aba 当12 时，  1min =f xf bba 向量法求函数值域 版权所有@正好 3 例 4 设α为锐角，证明41sincos8 证明：令a=sincos， b= 1,1 4|a|1, 2 由图像可知 mina b=ab=|a ||b|=12 cos45 =1。44maxa b=a b=|a ||b|=18= 8 41sincos8 