函数、数列以及极限的综合题例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线．当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义． 求：（1）求和的表达式；（2）求的表达式，并写出其定义域； （3）证明：的图像与的图象没有横坐标大于 1 的交点．分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（1）由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，（2）由点斜式求出段的的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）与没 有 交 点 ， 只 要时， 或时恒 成 立 ， 当， 由 于，只要证解：（1）依题意，又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由得又由，当时，函数的图象是斜率为 的线段，故由，即得记由函数的图象中第 段线段的斜率为，故得又∴由此知数列为等比数列，其首项为 1，公比为因，得 用心 爱心 专心即（2）当时，从（1）可知，即当时，当时，即当时，由（1）可知为求函数的定义域，须对进行讨论．当时，时，，也趋向于无穷大．综上，当时，的定义域为当时，的定义域为（3）证法 1 首先证明当时，恒有成立．对任意的，存在使，此时有又即有成立．其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．故函数的图象与的图象没有横会标大于 1 的交点．证法 2 首先证明当时，恒有成立．用数学归纳法证明：（ ⅰ ） 由 （ 1 ） 知 当时 ， 在上 ，所 以成立．（ⅱ）假设时在上恒有成立．用心 爱心 专心可得在上，所以 也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数 在上都即时，恒有其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为 0.02，三人平均不足 1 分，创了近年高考得分低的记录．命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．判断数列极限命题的真假例 判断下列命题...
