高中数学 数学归纳法1学案 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学学案

数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学习重难点：数学归纳法学习过程：探究一：数学归纳法的原理问题 1.有一串鞭炮相互连结在一起，点着第 1 个后，整串鞭炮便一个接着一个响了起来，直到最后一个.请问：为什么能响到最后一个？问题 2.对于数列{an}，已知 a1＝1，an＋1＝，试写出 a1，a2，a3，a4并由此作出猜想.请问这个结论正确吗？怎样证明？以下为证明过程：(1)当 n＝1 时，a1＝1＝，所以结论成立.(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝，则当 n＝k＋1 时 ak＋1＝(已知)＝(代入假设)＝(变形)＝(目标)即当 n＝k＋1 时，结论也成立.由(1)(2)可得，对任意的正整数 n 都有 an＝成立.问题 4.你能否总结出上述证明方法的一般模式？自主学习：阅读教材 P89 例 1,2,3探究二：用数学归纳法证明数列问题例.已知数列，，，…，，…，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.小结：归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“ 完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想.跟踪训练：数列{an}满足 Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前 n 项和)，先计算数列的前 4 项，再猜想 an，并证明.小结：证明 n＝k＋1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.1当堂检测：1.某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k (k∈N*)时命题成立，那么可推得当 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知 n＝5 时，该命题不成立，那么下列说法正确的是________.①n＝6 时该命题不成立 ② n＝6 时该命题成立③n＝4 时该命题不成立 ④ n＝4 时该命题成立2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y 整除”时，第一步验证 n＝1 时，命题成立，第二步归纳假设应写成________.3.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________.4.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数 式是______________.5.用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．6.用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.7.已知数列{an}的第一项 a1＝5 且 Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n 项和．(1)求 a2，a3，a4...