特征值与特征向量1．设矩阵 A＝，对于实数 λ，若存在一个非零向量 α 使 Aα＝λα，则 λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．2．设 α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量，则有：(1)kα(k≠0)也是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量．(2)Anα＝λnα(n∈N*)．3．多项式 f(λ)＝称为矩阵 A＝的特征多项式，方程 f(λ)＝0 称为矩阵 A 的特征方程 ． 4.给定矩阵 A＝，求 A 的特征向量和特征值一般步骤为：(1)首先求出特征方程 f(λ)＝0 的两个根 λ1、λ2即为矩阵 A 的特征值．(2)分别将 λ1、λ2代入齐次线性方程组分别求出与之相应的两组非零解 α1、α2即为相应的特征向量．特征值、特征向量的概念[例 1] 给定矩阵 M＝，N＝及向量 e1＝，e2＝.求证：(1)M 和 N 互为逆矩阵；(2)e1和 e2都是 M 的特征向量．[思路点拨] (1)只需证明 MN＝NM＝E 即可；(2)只需证明 Me1＝λe1，Me2＝λe2即可．[精解详析] (1)因为 MN＝ ＝，NM＝ ＝，所以 M 和 N 互为逆矩阵．(2)向量 e1＝ 在 M 的作用下，其象与其保持共线，即 ＝＝，向量 e2＝在 M 的作用下，其象与其保持共线，即 ＝，所以 e1和 e2都是 M 的特征向量．1．设 A 是可逆的二阶矩阵，求证：若 λ 是 A 的特征值，则是 A－1的特征值．证明： Aα＝λα，∴A－1(Aα)＝A－1(λα)，∴α＝A－1(λα)＝λ(A－1α)，∴A－1α＝α.∴是 A－1的特征值．2．若向量是矩阵的一个特征向量，求 m 的值．解：由题意知是齐次方程组的一组解，即解之得故 m 的值为 12.特征值和特征向量的求法[例 2] 求矩阵 A＝的特征值与相应特征值的一个特征向量．[思路点拨] 先求特征多项式，令特征多项式为 0 求出特征值，再求相应特征向量．[精解详析] 矩阵 A 的特征多项式为＝λ2－－＝λ2－1.令 λ2－1＝0，解得矩阵 A 的特征值为 λ1＝1，λ2＝－1.当 λ1＝1 时，代入齐次线性方程组得即 3x－y＝0，令 x＝1，则 y＝.所以 X1＝是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝1 的一个特征向量．当 λ2＝－1 时，代入齐次线性方程组得即 x＋y＝0，令 x＝3，则 y＝－.所以 X2＝是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝－1 的一个特征向量．已知矩阵 A＝，求它的特征值和特征向量可以分成以下两步：(1)求出矩阵 A 的特征多项式等于零的全部根，它们就是矩阵 A 的全部特征值．(2)对...
