高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1 不等式 2.基本不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.基本不等式学习目标：1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数.2.理解定理 1 和定理 2(基本不等式)．(重点)3.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均阅读教材 P5～P6“例 3”以上部分，完成下列问题．1．两个定理定理内容等号成立的条件定理 1a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)当且仅当 a ＝ b 时，等号成立定理 2≥(a，b＞0)当且仅当 a ＝ b 时，等号成立2.算术平均与几何平均如果 a，b 都是正数，我们称为 a，b 的算术平均，为 a，b 的几何平均．下列不等式中，正确的个数是( )① 若 a，b∈R，则≥；② 若 x∈R，则 x2＋2＋≥2；③ 若 x∈R，则 x2＋1＋≥2；④ 若 a，b 为正实数，则≥.A．0 B．1C．2 D．3C [显然①不正确；③正确；对于②，虽然 x2＋2＝无解，但 x2＋2＋＞2 成立，故②正确；④ 不正确，如 a＝1，b＝4.]教材整理 2 利用基本不等式求最值阅读教材 P6～P8，完成下列问题．已知 x，y 为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果 P 是定值，那么当且仅当 x ＝ y 时，S 取得最小值 2；(2)如果 S 是定值，那么当且仅当 x＝y 时，P 取得最大值.若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－的最大值是__________，取得最值时 x 的值是________．[解析] f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，当且仅当 x2＝，即 x＝±时取等号．[答案] －10 ±利用基本不等式证明不等式【例 1】 已知 a，b，c 都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[精彩点拨] 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[自主解答] a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2 ＝2a，同理：＋c≥2b，＋a≥2c.1三式相加得：＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当 a＝b＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．1．已知 x，y，z 均为正数，求证：＋＋≥＋＋.[证明] x，y，z 都是正数，∴＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得＋＋≥＋＋.利用基本不等式求最值【例 2】 设 x，y，z 均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．[精彩点拨] 由条件表示 y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形...