1．3.1 量 词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．知识点一 全称量词和全称命题 (1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为∀ x ∈ M ， p ( x ) ，读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成立”．知识点二 存在量词和存在性命题(1)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”可用符号简记为∃ x ∈ M ， p ( x ) ，读作“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”．思考 (1)在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M 与 p(x)”表达的含义分别是什么？答案 (1)在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．(2)元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于 0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．题型一 全称量词与全称命题例 1 试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.解 (1)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于 0∈N，当 x＝0 时，x4≥1 不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1 成立．所以命题“对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1”是真命题．反思与感悟 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪训练 1 试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数．解 (1)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题．(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，...
