高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1 不等式 3.三个正数的算术 几何平均不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

3．三个正数的算术几何平均不等式学习目标：1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式阅读教材 P8～P9定理 3，完成下列问题．1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立．2．定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知 a，b，c 为正数，则＋＋有( )A．最小值为 3 B．最大值为 3C．最小值为 2 D．最大值为 2A [＋＋≥3＝3，当且仅当＝＝，即 a＝b＝c 时，取等号．]教材整理 2 基本不等式的推广阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题．对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理 3 利用基本不等式求最值阅读教材 P9～P9“习题 1.1”以上部分，完成下列问题．若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 a ＝ b ＝ c 时，积 abc 有最大值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和 a ＋ b ＋ c 有最小值．设 x＞0，则 y＝x＋的最小值为( )A．2 B．2C．3 D．3D [y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，当且仅当＝时取“＝”号．]证明简单的不等式【例 1】 设 a，b，c 为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.[精彩点拨] 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．[自主解答] a>0，b>0，c>0，∴a＋b＋c≥3>0，从而(a＋b＋c)2≥9>0.又＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)21≥3·9＝27，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即 a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc...