第 1 讲 不等式和绝对值不等式[自我校对] ①不等式的基本性质 ②≥(a，b＞0) ③算术几何平均值不等式 ④绝对值三角不等式 ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式的性质及其应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．考查形式多以选择题出现．【例 1】 若 a，b 是任意实数，且 a>b，则( )A．a2>b2 B．<1C．lg(a－b)>0 D．b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成立．又 a>b⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证 C 成立．显然 D 成立．事实上，指数函数 y＝是减函数，所以 a>b⇔<成立．]1．若 a＞0，b＞0，则下列与－b＜＜a 等价的是( )A．－＜x＜0 或 0＜x＜B．－＜x＜C．x＜－或 x＞D．x＜－或 x＞D [－b＜＜a，当 x＜0 时，－bx＞1＞ax，解得 x＜－；当 x＞0 时，－bx＜1＜ax，解得 x＞.故应选 D.]基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．1【例 2】 求函数 y＝x2(1－5x)的最大值．[自主解答] y＝x2＝·x·x·， 0≤x≤，∴－2x≥0，∴y≤＝.当且仅当 x＝－2x，即 x＝时，上式取等号．因此 ymax＝.2．已知 x＜，求函数 y＝4x－2＋的最大值．[解] y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－≤3－2＝1.所以函数 y＝4x－2＋的最大值为 1.绝对值不等式的解法解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．【例 3】 已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式 f(x)≤6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a－1|的解集非空，求实数 a 的取值范围．[自主解答] (1)原不等式等价于或或解得4，解此不等式得 a<－3 或 a>5.3．若不等式|x－4|＋|3－x|＜a 的解集是空集，求 a 的取值范围．[解] 设 y＝|x－4|＋|3－x|，此题转化为求函数的最小值问题，若 a 不大于函数的最小值则不等式的解集为空集．y＝|x－4|＋|x－3|＝∴可以看出最小值为 1，∴a≤1 时，不等式...
