高中数学 向量在空间立体几何的应用素材 新人教版选修2-2

空间向量在立体几何中的应用一、填空题1.若等边 ABC的边长为2 3 ，平面内一点 M 满足1263CMCBCA�，则 MA MB�_________ 2．在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是________。【解析】设(0, ,0)My由222141( 3)1yy   可得1y 故(0, 1,0)M【答案】(0,-1，0) 二、解答题3.（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA  平面 ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M 为 EC 的中点 ，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为 坐 标 原 点 。 设，1AB依 题 意 得，，，001B，，，011C ，，，020D ，，，110E ，，，100F.21121M，，（I），，，解：101BF ，，， 110DE .2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为060 .（II）证明：，，，由21121AM ，，，101CE 0AMCE020AD，可得，，，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，用心 爱心 专心.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而 （III）.0D0)(CDEEuCEuzyxu，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是uxzyzx又由题设，平面 ACD 的一个法向量为).100(，，v.3313100cosvuvuvu，所以， 4．（本题满分 15 分）如图，平面 PAC 平面 ABC ， ABC是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为 PA ，PB ， AC 的中点，16AC ，10PAPC． （I）设G 是OC 的中点，证明：/ /FG平面 BOE ； （II）证明：在 ABO内存在一点 M ，使 FM  平面 BOE ，并求点 M 到OA ，OB 的距离．证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz， 则0,0,0 ,(0, 8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE�，因此平面 BOE 的法向量为(0,3,4)n ...