高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.1 平均变化率学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

1.1.1 平均变化率 1.了解函数平均变化率的意义，会求函数在给定区间上的平均变化率．2．掌握利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题，知道平均变化率的几何意义．1．平均变化率的定义：一般地，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．3．观察函数 f(x)的图象(如图)，平均变化率的几何意义是直线 P1P2的斜率．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线 y＝2x＋1 在[1，3]上的平均变化率是零，直线 y＝5 在[1，3]上的平均变化率不存在．( )(2)甲、乙二人销售化妆品，从 2016 年 2 月开始的 3 个月内，甲投入资金 5 万元获利 4万元，乙投入资金 8 万元获利 6 万元．因此我们认为乙的经营效果较好．( )(3)一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率． ( )(4)函数 f(x)在 A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线 AB 的斜率．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．如图，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是( )A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选 B．＝＝＝－1.3．给半径为 R 的热气球加热，使其体积增大，若半径从 R＝1 到 R＝m 时的体积膨胀率为，则 m＝________．解析：因为 V＝R3，所以＝(m2＋m＋1)＝，所以 m2＋m－＝0，解得 m＝1.5(负值舍去)．答案：1.54．已知函数 y＝3x－x2在 x＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则 Δy 为________．答案：－0.11 求平均变化率 求函数 f(x)＝在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 函数 f(x)在[1，2]上的平均变化率为＝＝－1. 若本例其余条件不变，把区间改为[1，3]，那么平均变化率为多少？解：函数 f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝－.(1)求函数 f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤是：第一步：求 x2－x1.第二步：求 f(x2)－f(x1)．第三步：由定义得出.(2)注意平均变化率公式中分子与分母形式上的对应关系，以防代入数值时出错． 1.函数 y＝x2＋1 在[2，3]上的平均变化率是________．解析：因为(32＋1)－(22＋1)＝5，所以＝5，即平均变化率是 5.答案：5 函数平均变化率的应用 求正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝附近的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 当自变量从 0 到 0＋Δx 时，设函数的平均变化率为 k1，则 k1＝＝.当自变量从到＋Δx 时，设函数的平均变化率为 k2，则k2＝＝.当 Δx＞0...