高中数学 直角三棱锥的几个性质素材 北师大版必修2VIP专享

直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质 1：RtΔ 的垂心就是直角顶点。性质 2：RtΔ 的两个锐角互余。性质 3：RtΔ 两直角边的平方和等于斜边的平方。性质 4：RtΔ 中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ 两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。性质 5：RtΔ 两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。性质 6：RtΔ 斜边上的中线等于斜边的一半。(所以 RtΔ 的外接圆半径 R＝c＝)。性质 7：RtΔ 的内切圆半径 r＝＝(a＋b－c)。现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB、PC 两两垂直，设 PA＝a，PB＝b，PC＝c。 PA、PB、PC 两两垂直， ∴PA⊥面 PBC，PB⊥面PCA，PC⊥面 PAB， ∴面 PAB、面 PBC、面 PCA 两两垂直。作 PH⊥面 ABC 于 H，连 CH 并延长并交 AB 于 D，连 PD，则 PH⊥AB，PH⊥CD，面 PCD⊥面 ABC；而 PC⊥面 PABPC⊥AB，所以 AB⊥面 PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理 ，AH⊥BC，BH⊥CA。 由 AB⊥面 PCD 知 CD⊥AB，而 PD⊥AB 且∠APB＝90°，∴∠ABC、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质 1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。由 AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA 易知，H 是 ΔABC 的垂心，由此可得：性质 2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。在 RtΔPAB 中，PD·AB＝PA·PBPD＝；在 RtΔPCD 中，CD ＝PD ＋PC ＝() ＋c ＝；在 RtΔPCD 中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PHPH ＝＝＝，∴＝＝＋＋。因此有：性质 2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为 h 满足关系式＝＋＋。因 PH⊥面 ABC， ∴侧棱 PC 与底面 ABC 所成角为∠PCH＝α，则有 sin ∠PCH＝sin α＝＝＝。 同理,侧棱 PB 与底面 ABC 所成角为用心 爱心 专心1∠PBH＝β,sin ∠PBH＝sin β＝，侧棱 PA 与底面 ABC 所成角为∠PAH＝γ，sin ∠PBH＝sin γ＝，所以 sin α＋sin β＋sin γ＝1。因此，性质 3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方...