1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导 (仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝2 x 复合而成．2．复合函数的求导法则若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝yu′· u x′，即 yx′＝yu′· a ．其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 x 的导数及 y 关于 u 的导数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)下列函数都是复合函数．( )①y＝－x3－＋1；② y＝cos；③ y＝；④ y＝(2x＋3)4.(2)函数 y＝的导数 y′＝－.( )(3)函数 y＝x(1－ax)2(a＞0)，且 y′|x＝2＝5，则实数 a 的值为 1.( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．函数 y＝x2cos 2x 的导数 y′＝________．答案：2xcos 2x－2x2sin 2x3．函数 y＝(2 017－8x)3的导数 y′＝________．答案：－24(2 017－8x)24．曲线 y＝cos 在 x＝处切线的斜率为________．答案：－2 复合函数的概念 指出下列函数的复合关系：(1)y＝(a＋bxn)m；(2)y＝(x2＋4x)3；(3)y＝e2＋x2；(4)y＝2sin(2－x2)．【解】 (1)y＝um，u＝a＋bxn.(2)y＝u3，u＝x2＋4x.(3)y＝eu，u＝2＋x2.(4)y＝2sin u，u＝2－x2.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数． 1.指出下列函数的复合关系：(1)y＝cos(x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝.解：(1)y＝cos u，u＝x＋1；(2)y＝eu，u＝3x2＋2；(3)y＝u－3，u＝1＋5x. 求复合函数的导数 求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－2x；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中 π，φ 均为常数)．【解】 (1)函数 y＝(2x＋3)2可以看作函数 y＝u2和 u＝2x＋3 的复合函数．根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数 y＝e－2x可以看作函数 y＝eu和 u＝－2x 的复合函数．根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(－2x)′＝－2eu＝－2e－2x.(3)函数 y＝sin(πx＋φ)可以看作函数 y＝sin u 和 u＝πx＋φ 的复合函数，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′...
