高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值 第1课时 利用导数研究函数的极值学案 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学学案

第 1 课时 利用导数研究函数的极值 1.了解函数的极大(小)值与导数的关系． 2.理解极大值、极小值的概念掌握． 3．掌握不超过三次的多项式函数的极大(小)值的求法．1．极值点与极值概念名称定义表示法极值极大值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＜ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值记作：y 极大＝ f ( x 0)极小值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＞ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值记作：y 极小＝ f ( x 0)极值点若函数 f(x)在 x0处取得极大值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点；若函数 f(x)在 x0处取得极小值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点2．求可导函数 y＝f(x)极值的步骤(1)求导数 f ′( x ) ；(2)求方程 f ′( x ) ＝ 0 的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f ′( x ) 的符号如何变化．如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定大于极小值．( )(2)导数为 0 的点一定是极值点．( )(3)函数 y＝f(x)一定有极大值和极小值．( )(4)若一个函数在给定的区间存在极值，则极值点一定在区间的内部．( )1(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．函数 y＝2x3－x2的极大值为( )A．0 B．－9C．0， D．答案：A3．函数 f(x)＝ex－x 的极小值为________．答案：1 求已知函数的极值点和极值 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.[解] (1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程 3x2－6x－9＝0，得 x1＝－1，x2＝3.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)10－22因此，当 x＝－1 时函数取得极大值，且极大值为 f(－1)＝10；当 x＝3 时函数取得极小值，且极小值为 f(3)＝－22.(2)函数 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝，令 f′(x)＝0，得 x＝e.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)...