1.5.3 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考 1 已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 ʃ(2x＋1)dx 与 F(1)－F(0)有什么关系？ 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使得 F′(x)＝f(x)? 1．微积分基本定理对于被积函数 f(x)，如果 F′(x)＝f(x)，那么 ʃf(x)dx＝ ，即 ʃF′(x)dx＝ ．2．常见的原函数与被积函数关系(1)ʃCdx＝Cx|(C 为常数)．(2)ʃxndx＝(n≠－1)．(3)ʃsin xdx＝－cos x|.(4)ʃcos xdx＝sin x|.(5)ʃdx＝ln |x||(b>a>0)．(6)ʃexdx＝ex|.(7)ʃaxdx＝(a>0 且 a≠1)．(8)ʃdx＝(b>a>0)．知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 ʃf(x)dx＝ ．(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则 ʃf(x)dx＝ ．(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则 ʃf(x)dx＝ ． 特别地，若 S 上＝S 下，则 ʃf(x)dx＝ .类型一 定积分的求法例 1 (1)定积分 ʃ(2x＋ex)dx 的值为________．(2)ʃ|1－x2|dx＝________.(3)ʃ[－cos x]dx＝________.反思与感悟 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．跟踪训练 1 (1)计算定积分 ʃ(x2＋sin x)dx＝______.(2)已知 f(x)＝求 ʃf(x)dx. 类型二 利用定积分求参数例 2 (1)已知 2≤ʃ(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为________．(2)设函数 f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若 ʃf(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则 x0的值为________．反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念．跟踪训练 2 (1)已知 x∈(0,1]，f(x)＝ʃ(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是________．(2)已知 [(3ʃax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求 ab 的取值范围． 类型三 利用微积分基本定理求面积例 3 ...
