复习课(三) 空间向量与立体几何利用空间向量证明平行、垂直问题1．空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题常作为一道解答题的某一小问，属于中档题．2．利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β ⇔u⊥v⇔u·v＝0．[典例] 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别在 BB1，DD1上，且 AM⊥A1B，AN⊥A1D．(1)求证：A1C⊥平面 AMN；(2)当 AB＝2，AD＝2，A1A＝3 时，问在线段 AA1上是否存在一点 P使得 C1P∥平面 AMN，若存在，试确定 P 的位置．[解] (1)证明：因为 CB⊥平面 AA1B1B，AM⊂平面 AA1B1B，所以 CB⊥AM，又因为 AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以 AM⊥平面 A1BC，所以 A1C⊥AM，同理可证 A1C⊥AN，又 AM∩AN＝A，所以 A1C⊥平面 AMN．(2)以 C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，因为 AB＝2，AD＝2，A1A＝3，所以 C(0,0,0)，A1(2，2,3)，C1(0，0,3)，＝(2,2,3)，由(1)知 CA1⊥平面 AMN，故平面 AMN 的一个法向量为＝(2,2,3)．设线段 AA1上存在一点 P(2,2，t)，使得 C1P∥平面 AMN，则＝(2,2，t－3)，因为 C1P∥平面 AMN，所以·＝4＋4＋3t－9＝0，解得 t＝．所以 P，所以线段 AA1上存在一点 P，使得 C1P∥平面 AMN．[类题通法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行：① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；② 证明可在平面内找到一个向量与直线的方...
