四 弦切角的性质1．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)2．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)[基础·初探]教材整理 弦切角定理阅读教材 P33～P34，完成下列问题．1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图 241，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝∠ D .图 2411．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于 C，PAB 交⊙O 于 A，B，则( )A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠BD．∠PAC＝∠BCA【解析】 由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2．如图 242 所示，MN 与⊙O 相切于点 M，Q 和 P 是⊙O 上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP 等于( )1图 242A．20° B．70°C．110°D．160°【解析】 根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]利用弦切角定理解决与角有关的问题 如图 243，AB 是半圆 O 的直径，C 是圆周上一点(异于 A，B)，过 C 作圆 O 的切线l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，垂足为 D，AD 交半圆于点 E，求证：CB＝CE.图 243【精彩点拨】 解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换．【自主解答】 连接 AC，BE，在 DC 延长线上取一点 F，因为 AB 是半圆 O 的直径，C 为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为 AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线 l 是圆 O 的切线，所以∠CEB＝∠BCF，2又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.则∠CEB＝∠DAC，由圆周角定理知∠DAC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.1．把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目．2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．[再练一题]1．如图 244，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，过 A 作 AD⊥CD，D 为垂足．图 244(1)求证：∠DAC＝∠BAC；(2)若 AC＝8，cos∠BAC＝，求⊙O 的直径．【解】 (1)证明：连接 BC，OC，因为 AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB...
