高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系学案（含解析）新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二第一册数学学案

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系学 习 目 标核 心 素 养1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为 F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以 F1，F2，F3的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．1．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果 p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组( x ， y ， z ) 为向量 p 的坐标，记作p ＝ ( x ， y ， z ) ．其中 x，y，z 都称为 p 的坐标分量．思考 1：若 a＝xe1＋ye2＋ze3，则 a 的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示] 不一定，当 e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．2．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量 a，b 满足 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：(1)a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2， z 1＋ z 2)；(2)若 u，v 是两个实数，ua＋vb＝( ux 1＋ vx 2， uy 1＋ vy 2， uz 1＋ vz 2)；(3)a·b＝x1x2＋ y 1y2＋ z 1z2；(4)|a|＝＝；(5)当 a≠0 且 b≠0 时，cos〈a，b〉＝＝．思考 2：若向量AB＝(x，y，z)，则点 B 的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示] 不一定，A 点与原点重合时是，不重合时不是．3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当 a≠0 时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当 a 的每一个坐标分量都不为零时，有 a∥b⇔＝＝．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．4．空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点 O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过 ...