1.4.2 用空量研究距离、夹角问题学 习 目 标核 心 素 养1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点) 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)已知 a，b 为非零向量，它们的夹角为 θ，那么 cos θ＝cos〈a，b〉＝.(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角和两个平面的夹角．(3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢？1．空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线 l1与 l2所成的角为 θ设 l1与 l2的方向向量分别为 u，v，则cosθ＝|cos < u ， v > | ＝直线 l 与平面 α 所成的角为 θ设 l 的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos < u ， n > | ＝平面 α 与平面 β 的夹角为 θ设平面 α，β 的法向量分别为n1，n2，则 cos θ＝|cos < n 1， n 2> | ＝思考：直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示] 设 n 为平面 α 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则θ＝2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A、B 为空间中的任意两点，则 d＝| AB | 点线距设直线 l 的单位方向向量为 u，A∈l，P∉l，设AP＝a，则点 P 到直线 l 的距离 d＝点面距已知平面 α 的法向量为 n，A∈α，P∉α，则点 P 到平面 α 的距离为 d＝1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)直线 l 与平面 α 的法向量的夹角的余角就是直线 l 与平面 α 所成的角． ( )(3) 平 面 α 和 β 的 夹 角 为 θ ， 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 n1 ， n2 ， 则 θ ＝〈n1，n2〉．( )[提示] (1)× (2)× (3)×2．已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( )A．30° B．60° C．150° D．120°B [设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝...
