第 3 讲 柯西不等式与排序不等式[自我校对] ①一般形式的柯西不等式 ②柯西不等式的三角形式 ③反序和 ④顺序和 ⑤排序原理利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．【例 1】 已知 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.[自主解答] 因为 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，令 m＝(，，)，n＝(1,1,1)，则|m·n|2＝(＋＋)2，|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. |m·n|2≤|m|2·|n|2，∴()＋＋)2≤48，∴＋＋≤4.1．设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：＋≥.[证明] a，b，x，y 都大于 0，且 x＋y＝a＋b.由柯西不等式，知[(a＋x)＋(b＋y)]≥2＝(a＋b)2.又 a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，所以＋≥.排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例 2】 已知 a，b，c 为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.1[自主解答] 由于不等式关于 a，b，c 对称，可设 a≥b≥c>0.于是 a2≥b2≥c2，≥≥.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，及 a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原不等式．2．设 a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.[证明] 不妨设 a≥b≥c＞0，则 a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4.又 a3≥b3≥c3＞0，且 ab≥ac≥bc＞0，所以 a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即 a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例 3】 设 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．[自主解答] 由于 a，b，c 为正实数，根据柯西不等式，知(a＋2b＋3c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝(＋＋)2，∴(＋＋)2≤，即＋＋≤，当且仅当＝＝时取等号．又 a＋2b＋3c＝13，∴当 a＝9，b＝，c＝时，＋＋取得最大值为.3．已知实数 a，b，c，d，e 满足 a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求 a＋b＋c＋d＋e 的最大值．[解]...
