高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行． (重点)3.基向量的选取及应用．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 1 空间向量基本定理阅读教材 P87～P88例 1 以上的部分，完成下列问题．1．空间向量基本定理如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 p ＝ x e 1＋ y e 2＋ z e 3.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{ e 1， e 2， e 3}称为空间的一个基底，e1， e 2， e 3 叫做基向量.0 不能作为基向量．3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{ i ， j ， k } 表示．4．空间向量基本定理的推论设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP ＝ x OA ＋ y \o(OB ＋ z OC .已知是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断能否作为空间的一个基底？并说明理由．[解] 能作为空间的一个基底，理由如下：假设OA，OB，OC共面，则存在实数 λ，μ 使得OA＝λOB＋μOC，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. e1，e2，e3不共面，∴此方程组无实数解．∴OA，OB，OC不共面．∴能作为空间的一个基底．教材整理 2 空间向量的坐标运算阅读教材 P89～P90例 1 以上的部分，完成下列问题．1．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝( a 2－ a 1， b 2－ b 1， c 2－c1)；当空间向量 a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量 a 的坐标．2．空间向量的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量的加法a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)向量的减法a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数乘向量λa＝( λa 1， λa 2， λa 3)，λ∈...