高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

3.1.5 空间向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 1 空间向量的夹角阅读教材 P91～P92上半部分，完成下列问题．a，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量 a与向量 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称 a 与b 互相垂直，记作 a ⊥ b .如图 3127，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求向量BC1与AC夹角的大小．图 3127[解] AD1＝BC1，∴∠CAD1的大小就等于〈BC1，AC〉． △ACD1为正三角形，∴∠CAD1＝，∴〈BC1，AC〉＝.∴向量BC1与AC夹角的大小为.教材整理 2 空间向量的数量积阅读教材 P92例 1 以上的部分，完成下列问题．1．数量积的定义设 a，b 是空间两个非零向量，我们把数量| a || b |·cos 〈 a ， b 〉 叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos 〈 a ， b 〉 ．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2．数量积的性质(1)cosa，b＝(a，b 是两个非零向量)．(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b 是两个非零向量)．(3)|a|2＝a·a＝a2.3．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ ( a·b ) (λ∈R)；(3)a·(b＋c)＝a·b ＋ a·c .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( )(2)在△ABC 中，〈AB，BC〉＝∠B.( )(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )(4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则 a 与 b 的夹角为________. 【导学号：71392174】[解析] cos〈a，b〉＝＝＝－，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.[答案] 教材整理 3 数量积的坐标表示阅读教材 P93～P94例 3 以上的部分，完成下列问题．1．若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋ y 1y2＋ z 1z2.(2)a⊥b⇔a · b ＝ 0 ⇔x1x2＋ y 1y2＋ z 1z2＝ 0 (a≠0，b≠0)．(3)|a|＝＝.(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．2．空间两点间距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2...