1.5 二项式定理第 1 课时 二项式定理问题 1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题 2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是 n＋1 项，每一项的次数为 n.问题 3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个 a＋b中选 a 或选 b 是任意的．若有一个选 b，则其余三个都选 a，其方法有 C 种，式子为 Ca3b；若有两个选 b，则其余两个选 a，其方法有 C 种，式子为 Ca2b2.问题 4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋…＋ C a n － r b r ＋…＋ C b n (n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有 n ＋ 1 项．2．二项展开式的通项C a n － r b r 叫做二项展开式的第 r＋1 项(也称通项)，用 Tr＋1表示，即 Tr＋1＝C a n － r b r ．3．二项式系数C ( r ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ， n ) 叫做第 r＋1 项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b 为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数 C，C，…，C，…，C.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐次减 1 直到 0；字母 b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐次加 1 直到 n. [例 1] 求下列各式的展开式：(1)(a＋2b)4；(2).[思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析] (1)根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca32b＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2)法一：＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)·＋C＝32x5－120x2＋－＋－.法二：＝＝[C(4x3)5＋C(4x3)4·(－3)＋…＋C(4x3)·(－3)4＋C·(－3)5]＝(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋－＋－.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展...
