高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

3．1.1 空间向量及其线性运算[学习目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一 空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二 空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.(2)运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．知识点三 空间向量的数乘运算(1)定义实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当 λ>0 时，λa 与a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点四 共线向量定理 (1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b.(2)充要条件对空间任意两个向量 a，b(a≠0)，b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ，使 b＝λa.思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？(2)零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？答案 (1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2)错误．不是没有方向，而是方向任意．(3)正确．题型一 空间向量的概念例 1 判断下列命题的真假．(1)空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；(4)向量AB与BA的长度相等．解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练 1 如图所示，以长方体 ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB相等的所有...